Опорный конспект
-5 и 5- противоположные числа
-(-а)=а
|-5|=5
|5|=5
Для решения уравнений:
1.|х|=5
Ответ: х=5 или х=-5
|
2. |х|=-5
Ответ: решений
нет!
|
3. -|х|=-5
Ответ: х=5 или х=-5
|
4. -|х|=5
Ответ: решений нет!
|
5. |-х|=5
Ответ: х=5 или х=-5
|
6. |-х|=-5
Ответ: решений нет!
|
Сравнение чисел:
1.Отриц. И отриц. | | меньшего > |
| большего
2. отриц.<0
3. 0 < полож.
4. отриц. < полож
Дорогие друзья!!!
Ниже перечислены сайты, которые помогут ВАМ в изучении математики: http://school-assistant.ru/
http://math-prosto.ru/
УЧАСТВУЙ И ПОБЕЖДАЙ!!!
Каждый месяц 15 числа на сайте МетаШкола проходят конкурсы.
Более подробную информацию смотрите на сайте MetaSchool.ru
Дорогие ребята!!!
Прошло лето и для того, чтобы вспомнить весь материал 5 класса, я Вам размещаю на этой страничке вспомогательный материал.
Натуральные числа (Ν) - числа, используемые при счете предметов. 0 не является натуральным числом. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - цифры.
Периметр – сумма длин всех сторон многоугольника.
Числовые - выражения, состоящие из чисел, знаков арифметических действий и скобок.
(5+3) ·6
|
Буквенные - выражения, состоящие из чисел, знаков арифметических действий, скобок и букв.
m, x+3, (6-y)·8, (5+k) ·2
|
Число, получаемое в результате выполнения всех указанных действий в числовом выражении, называют значение этого выражения.
Уравнение - равенство содержащее букву, значение которой нужно найти. Значение буквы, при которой из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения. Решить уравнение - значит найти все его корни (или убедится, что корней нет).
1·x=x
|
2·(a+b)=2(a+b)
|
2·x=2x
|
a·b·c=abc
|
x+2x+3x-4x=(1+2+3-4)x=2x (x=1·x)
2x+5+3x+2=(2+3)x+(5+2)=5x+7
В книге напечатаны рассказ и повесть, которые вместе занимают 70 страниц. Повесть занимает в 4 раза больше страниц, чем рассказ. Сколько страниц занимает рассказ и повесть?
Решение: (меньшее берем за х)
Краткая запись:
РАССКАЗ - х страниц 70 страниц
ПОВЕСТЬ - 4х страниц
Пусть х страниц занимает рассказ, тогда 4х страниц занимает повесть. Известно, что вместе они занимают 70 страниц. Составим и решим уравнение:
х+4х=70;
5х=70;
х=70:5;
х=14.
14 страниц занимает рассказ.
14·4=56 (стр.) - занимает повесть.
Ответ: 14 страниц, 56 страниц.
n2=n·n – квадрат числа n. n3=n·n·n – куб числа n.
S=ʋt – формула пути.
S=ab – формула площади прямоугольника.
Две фигуры называются равными, если одну из них можно так наложить на вторую, что эти фигуры совпадают. Площади равных фигур равны. Их периметры тоже равны. Площадь всей фигуры равна сумме её частей.
Гектар – это площадь квадрата со стороной 100 м. 1 га=10000 м2.
Ар (сотка) – площадь квадрата со стороной 10 м. 1 а=100 м2.
Прямоугольный параллелепипед - объёмная фигура, у которой шесть граней, и каждая из них является прямоугольником.
Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны. Стороны граней называют ребрами параллелепипеда, а вершины граней – вершинами параллелепипеда. Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения – длину(а), ширину(b), высоту(c).
Sповерх.пр.парал.= (ab+bc+ac)·2
Vпр.парал.=abc
Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения одинаковые. Поверхность куба состоит из 6 равных квадратов.
Sповерх.куба= 6a2
Vкуба=a3
1 л = 1дм3
Окружность - геометрическая фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от данной точки (центра окружности).
Круг - часть плоскости ограниченная окружностью.
Диаметр (d) - это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности. Диаметр составляет два радиуса. d=2r.
Радиус (r)- отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности. Радиус составляет половину диаметра. r=1/2d.
Хорда окружности - отрезок, соединяющий любые две точки окружности.
Дуга окружности - кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками.
(2+3+4):3=9:3=3- среднее арифметическое 2, 3 и 4.
Доля - это часть чего либо.
Знаменатель показывает,
на сколько долей делят, а числитель – сколько таких долей взято.
Задачи
1.
Нахождение
дроби от числа.
В корзине лежит 20 яблок. Петя взял 2/5
Решение:
Разделим все яблоки на 5 и получим одну пятую часть
яблок: 20:5=4 яблока. Далее умножим полученное количество на 2 и получим две
пятых от общего количества: 4·2=8 яблок.
Ответ: 8 яблок.
Чтобы найти дробь от числа, нужно число
разделить на знаменатель и умножить на
числитель.
2.
Нахождение числа по его дроби.
2/3 всех испеченных мамой пирожков
были с капустой. Сколько всего пирожков испекла
мама, если пирожков с капустой
получилось 14 штук.
Решение:
Если 14 шт. – это 2/3
Ответ: 21 шт.
Чтобы найти число по данному значению его
дроби, необходимо часть числа разделить на числитель и умножить на знаменатель.
Две равные дроби обозначают одно и тоже число. 1/2=4/8.
Сравнение дробей.
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой
меньше числитель, и больше та, у которой больше числитель.
Точка на координатном луче, имеющая меньшую координату,
лежит слева от точки, имеющей большую координату.
Обыкновенная дробь 11/23 называется правильной,
если ее числитель меньше знаменателя. Дробь
является правильной, так как 11 < 23 .
Дробь называется неправильной,
если ее числитель больше знаменателя или равен ему. Дробь 23/11
- неправильная, так как 23 > 11 .
Дробь 3/3
Правило.
Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сравнить их числители.
Больше (меньше) та дробь, у которой числитель больше (меньше).
Правило.
Чтобы сравнить правильные дроби с одинаковыми числителями, надо сравнить их
знаменатели. Больше (меньше) та дробь, у которой знаменатель меньше (больше).
При сложении дробей с одинаковыми
знаменателями числители складывают, а знаменатель оставляют тот же. С помощью букв правило сложения можно
записать так:
При вычитании дробей с
одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель
вычитаемого, а знаменатель оставляют тот же. С помощью букв правило
вычитания можно записать так:
Знак деления и черта дроби - это одно и то
же математическое действие.
2:3=2/3.
Любое натуральное
число можно записать в виде дроби с любым натуральным знаменателем. 2= 4/2=2/1.
Числа, в состав которых входит целое число
и дробь, называются смешанными числами.
Неправильную дробь можно записать в виде
смешанного числа, для этого нужно:
1) числитель поделить на знаменатель;
2) полученное неполное частное будет целой
частью смешанной дроби;
3) остаток - числителем дробной части, а
знаменатель исходной неправильной дроби - знаменателем дробной части.
1.
Записать
неправильную дробь
20/3 в виде смешанной
дроби или выделить целую часть:
Чтобы смешанное число записать в виде
неправильной дроби, надо:
1) целую часть умножить на знаменатель
дробной части;
2) к
полученному числу прибавить числитель дробной части;
3) записать
эту сумму в числитель, а знаменатель дробной части оставить без изменений.
Правила сложения
(вычитания):
·
Уравниваем количество знаков после запятой.
·
Записываем десятичные дроби друг под другом так,
чтобы запятые были друг под другом.
·
Выполняем сложение (вычитание) десятичных дробей,
не обращая внимания на запятые, по правилам сложения в столбик натуральных
чисел.
·
Ставим в ответ запятую под запятыми.
Округление
чисел
При округлении дробной части
десятичной дроби пользуемся правилами округления.
1.
Подчёркиваем цифру округляемого разряда.
2.
Вертикальной чертой отделяем все цифры, стоящие
справа от округляемого разряда.
3.
o
Если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 0, 1,
2, 3 или 4, то подчёркнутую цифру оставляем без изменений, а все цифры после
вертикальной черты отбрасываем.
o
Если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 5, 6,
7, 8 или 9, то к подчёркнутой цифре добавляем 1, а все цифры после вертикальной
черты отбрасываем.
Округлим 41,958 до сотых.
Умножение двух
десятичных дробей выполняется так:
1) числа перемножаются без учета запятых.
2) запятая в произведении ставится так, чтобы отделить справа
столько же знаков, сколько отделено в обоих множителях
вместе взятых.
1) числа перемножаются без учета запятых.
2) запятая в произведении ставится так, чтобы отделить справа
столько же знаков, сколько отделено в обоих множителях
вместе взятых.
При умножении любой десятичной дроби на 10,100,1000 и т.д. запятая в десятичной дроби перемещается вправо на столько знаков, сколько
нулей стоит после единицы.
70,1 • 10 = 701; 0,023 • 100 = 2,3.
Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001; и
т.д., надо в этой дроби перенести
запятую влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед единицей.
0,05 • 0,1 = 0,005; 1,256 • 0,01 = 0,012 56.
Чтобы
разделить десятичную дробь на натуральное число, надо:
1) разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;
2) поставить в частном запятую, когда кончится деление целой части.
1) разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;
2) поставить в частном запятую, когда кончится деление целой части.
При делении
десятичной дроби на 10 , 100 , 1000 , ... , надо
перенести запятую в этой дроби влево на столько знаков, сколько нулей в
делителе.
34,9 : 10 = 3,49 ; 746 : 100 =
7,46 ; 28,1 : 1000 = 0,0281 .
При делении на
десятичную дробь, сначала переносим запятую в делимом и делителе вправо на столько
знаков, сколько их после запятой в делителе. А
затем выполняем деление на натуральное число. 543,96 : 0,3 = 5439,6 : 3 =
1813,2
237 : 0,03 = 23700 : 3 = 7900 .
237 : 0,03 = 23700 : 3 = 7900 .
Разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д. - то же самое, что умножить её на 10, 100, 1000 и т.д. соответственно.
7,1 : 0,1 = 7,1 • 10 = 71; 25,37
: 0,001 = 25,37 • 1 000 = 25 370.
Чтобы найти среднее
арифметическое, нужно сложить все числа и поделить их сумму на их
количество.
Найти среднее арифметическое 2,
3 и 4.
Средняя скорость движения - это весь пройденный путь разделить на всё время
движения.
ʋср.=Sвесь путь /t
Задача.
Автомобиль двигался 3,2
ч по шоссе со скоростью 90 км/ч, затем 1,5 ч по грунтовой дороге со скоростью
45 км/ч, наконец, 0,3 ч по просёлочной дороге со скоростью 30 км/ч. Найдите
среднюю скорость движения автомобиля на всём пути.
Решение: Для расчёта средней скорости
движения нужно знать весь путь, пройденный автомобилем, и всё время, которое
автомобиль двигался.
S1
= ʋ1t1
S1 = 90 • 3,2 = 288 (км) - шоссе.
S2 = ʋ 2t2
S2 = 45 • 1,5 = 67,5 (км) - грунтовая дорога.
S3 = ʋ 3t3
S3 = 30 • 0,3 = 9 (км) - просёлочная дорога.
S = S1 + S2 + S3
S = 288 + 67,5 + 9 = 364,5 (км) - весь путь, пройденный автомобилем.
t = t1 + t2 + t3
t = 3,2 + 1,5 + 0,3 = 5 (ч) - всё время.
ʋ ср = S : t
ʋ ср = 364,5 : 5 = 72,9 (км/ч) - средняя скорость движения автомобиля.
S1 = 90 • 3,2 = 288 (км) - шоссе.
S2 = ʋ 2t2
S2 = 45 • 1,5 = 67,5 (км) - грунтовая дорога.
S3 = ʋ 3t3
S3 = 30 • 0,3 = 9 (км) - просёлочная дорога.
S = S1 + S2 + S3
S = 288 + 67,5 + 9 = 364,5 (км) - весь путь, пройденный автомобилем.
t = t1 + t2 + t3
t = 3,2 + 1,5 + 0,3 = 5 (ч) - всё время.
ʋ ср = S : t
ʋ ср = 364,5 : 5 = 72,9 (км/ч) - средняя скорость движения автомобиля.
Ответ: ʋ ср = 72,9 км/ч.
Задачи на проценты.
1)
Нахождение процент от числа.
Предприятие изготовило за квартал 500 насосов, из которых 60 % имели
высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества изготовило
предприятие?
Решение:
1)
500:100=5 (н.) – 1%.
2)
5•60=300 (н.) – высшей категории качества.
Ответ: 300 насосов высшей категории качества.
2)
Нахождение числа по его проценту. (Так как задачи «процент по числу» и «число
по его проценту» очень похожи и часто не сразу понятно какой тип задачи перед
нами, старайтесь внимательно читать текст. Если вам встречаются слова
«который», «что составляет» и «который составляет», скорее всего перед вами
задача «число по его проценту».)
Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23 % числа всех страниц в
книге. Сколько страниц в книге?
Решение:
1)
138:23=6 (стр.) – 1%.
2)
6•100=600 (стр.) - общее количество страниц в
книге.
Ответ: 600 страниц.
3)
Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от
другого, нужно ту часть, о которой
спрашивается, разделить на общее количество и умножить на 100 %.
Из 200 арбузов 16 оказались незрелыми. Сколько процентов всех арбузов
составили незрелый арбузы?
Решение:
О чем спрашивают? О незрелых арбузах. Значит, 16 делим на общее
количество арбузов и умножаем на 100 %.
(16:200) •100%=0,08•100%=8%- составляют незрелые арбузы от всех арбузов.
Ответ: 8 %.
Угол - это геометрическая фигура, которая состоит из двух
лучей и вершины.
Вершина угла - это точка, в которой два луча берут начало.
Стороны угла - это лучи, которые образуют угол.
Называть
угол можно с любого края, но НЕ с вершины. Угол с рисунка выше имеет два названия: угол AOD и угол
DOA. (При таком обозначении вершина угла должна всегда находиться
в середине названия).
Единица измерения
углов - градусы. Градусом называют 1/180
долю развернутого угла. Углы измеряют с
помощью специального прибора - транспортира.
Обозначают: символом °
50 градусов обозначаются так: 50°.
Луч, который делит угол пополам называют БИССЕКТРИСОЙ.
Сумма углов в треугольнике равна 180°.
Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
